推步聚顶之术：推步聚顶是什么绝技

     《显微镜下的大明之丝绢案》迎来了大结局。剧中反复提到《丝绢全书》中的“推步聚顶之术”，“推步聚顶之术”能够快速地测量不规则田地的面积。那么何为“推步聚顶”？关于剧中“推步聚顶”之术，有口诀：先牵经纬以衡量，再点圆初标步长，田型取顶分别数，再算推步知地方。根据这个口诀，所谓的“推步聚顶”之术，应该指的是三形分割法求多边形面积。

我们以先以凸多边形为例，我们在多边形内任意取一个点，然后将该点依次与各边连线，这样多边形就被分割为多个三角形了。只需要求得每个三角形的面积，就可以求出整个多边形的面积。

我们可以使用向量积来计算每个三角形的面积。例如，上图中的多边形面积可表示为

其中 ai 为每个三角形的面积，(xi, yi) 为第 i 个顶点的坐标。当 i = n时，下标 n+1 也记为 0。实际上，由于向量积存在正负之分。因此，选取的参考点既可以在多边形的内部，也可以在多边形外部，如下图。

向量积正值覆盖到多边形的面积，而负值刚好是多余图形的面积，正负相消，得到的就是多余图形的面积。因此，仍然可以用上面的公式计算多边形的面积。

注意，上面的推导并不要求多边形为凸多边形。实际上，上面求面积的公式同样适用于凹多边。《显微镜下的大明之丝绢案》中的妖田，可以看作是不规则多边形，只要选取任意一点       作为参考点（原点），测得多边形各顶点的坐标，就可以用上面的公式快速计算出妖田的面积，这便是“推步聚顶之术”。