直线和圆的方程(直线与圆交点的圆系方程)

一.直线系

1.平行系 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0

2.垂直系 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+m=0

3.切线系 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线系方程为(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=r

4.定点系 过定点(a,b)的直线系方程为m(x-a)+n(y-b)=0

5.交点系 过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0（可以表示经过l1与l2的交点的除去l2的所有直线）

二．圆系

1.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+m(Ax+By+C)=0

2.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+m(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（可以表示经过C1与C2的交点的除去C2的所有圆）

特别的，m=-1时，若两圆相交，表示经过交点的直线，即相交弦，若两圆相切，则表示两圆的公切线.

推论：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，点P(x0,y0)是圆外一点,过P作圆的两条切线，切点为C,D,则直线CD的方程为：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2

三．例题

1.求过直线l:x+2y+1=0与直线2x-y+1=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

方法一先求两直线交点坐标，再求欲求直线方程

方法二利用直线系方程求出所求直线方程

x-3y=0或5x+5y+4=0

易错点：容易遗漏过原点的直线

2.求经过两圆x2+y2+3x-y-2=0和3x2+3y2+2x+y+1=0交点和坐标原点的圆的方程.

方法一先求两圆交点，再求圆的方程 计算量比较大

方法二利用圆系方程可得7x2+7y2+7x+y=0

3.求经过直线l：2x+y+4=0和x2+y2+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.

思路一求出直线与圆的交点A、B坐标，过A、B两点面积最小的圆，即以AB为直径的圆，从而求出圆的方程

思路二利用圆系的方程设出所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y+1+m(2x+y+4)=0

要使得圆的面积最小，即需圆心在直线2x+y+4=0上。

思路三求出上面圆的半径，再求得m=8/5时圆的半径最小，即面积最小，此时圆的方程为5x2+5y2+26x-12y+37=0

变式：求过两圆x2+y2=5和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程.

思路一直接求两圆的交点，在求出圆的方程，计算量比较大！

思路二设所求圆的方程为x2+y2-5+m[(x-1)2+(y-1)2-16]=0,再求出面积最小的圆，较繁！

思路三 在思路二中令m=-1,可得两圆的公共弦方程为2x+2y-11=0,此时，本题划归为例题3，可以计算得到结果。

思路四利用平面几何知识可知两圆圆心的连线与两圆公共弦的交点，即所求圆的圆心，在利用弦心直角三角形，可以求出圆的半径，从而得到该题结果.

4.已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ,求实数m的值.

思路一将x+2y-3=0与x2+y2+x-6y+m=0联立，可得5y2-20y+12+m=0

利用根与系数的关系求出x1x2,y1y2,由 OP⊥OQ,可得x1x2+y1y2=0，求出m=3。

思路二利用圆系方程设出所求圆的方程为x2+y2+x-6y+m+n(x+2y-3)=0,由已知，原点O在以PQ为直径的圆上，可以得到该题结果。