托勒密定理(圆的内接四边形对角线的乘积等于对

设四边形ABCD内接于⊙O,AC、BD分别是对角线.

在AC上取一点E连结BE,且使∠ABE＝∠DBC,易得△ABE∽△DBC

∴AE/AB=CD/BD,∴AE×BD＝AB×CD……（1）

又由△ABE∽△DBC得∠AEB＝∠BCD

而∠AEB＋∠BEC＝180°,∠BCD＋∠BAD＝180°

∴∠BEC＝∠BAD

又∵∠BCE＝∠BAD

∴△CEB∽△DAB∴CE/BC=AD/BD∴CE×BD＝BC×AD……（2）

（1）+（2）得AE×BD＋CE×BD＝AB×CD＋BC×AD

BD（AE+CE）＝AB×CD＋BC×AD

即BD×AC＝AB×CD＋BC×AD

说明本题在分析时,想到,欲证式的左边是一个积,右边是两个积的和,需将左边变成两个积的和,所以把AC分成两条线段；结合图形,为获得相似三角形,就作∠ABE＝∠DBC使问题得证.