第二类间断点(导函数有第二类间断点例子)

如果函数f(x)在某开区间上可导，那么其导函数在这个区间上没有跳跃型间断点，这是由导函数的介值性质(即Darboux定理)得到的。

假定x0是f'(x)的跳跃型间断点，比如a=f'(x0-)<f'(x0+)=b，

取x0充分小的邻域(x0-d,x0+d)，使得当0<t<d时总有f'(x0-t)<(b+2a)/3 < (a+2b)/3 < f'(x0+t)，

这样在x0的局部f'(x)将不可能取到(a+b)/2附近的值，和Darboux定理矛盾。

，对于导函数的间断点，最好讲得严谨一些，不然是可以找出跳跃间断点的例子的。

比如说，|x|的导函数，虽然x=0处不可导，但如果不讲清楚的话在讨论导函数的时候可以认为x=0是一个跳跃间断点。

扩展资料

第二类间断点函数的左右极限至少有一个不存在。

a、若函数在x=Xo处的左右极限至少有一个无穷不存在，则称x=Xo为f(x)的无穷间断点。例y=tanx，x=π/2

b、若函数在x=Xo处的左右极限至少有一个振荡不存在，则称x=Xo为f(x)的振荡间断点。例y=sin(1/x)，x=0

设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 limf(x)=f(x0)（x→x0），那么就称函数 f(x) 在点 x0 处 连续。

不连续情形

1、在点x=x0没有定义；

2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在；

3、虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但lim f(x) ≠f(x0)（x→x0）时则称函数在x0处不连续或间断。