等比数列求和公式推导(等比数列求和的三个推导
生活百科 2022-08-04 07:52www.17kangjie.cn生活百科
第一种作差法
Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
qSn=a1q+a2q+a3q+...+anq
=a2+a3+a4+...+a(n+1)
Sn-qSn=a1-a(n+1)
(1-q)Sn=a1-a1q^n
Sn=(a1-a1q^n)/(1-q)
Sn=(a1-anq)/(1-q)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
2、由等比数列定义
a2=a1q
a3=a2q
a(n-1)=a(n-2)q
an=a(n-1)q 共n-1个等式两边分别相加得
a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]q
即 Sn-a1=(Sn-an)q,即(1-q)Sn=a1-anq
当q≠1时,Sn=(a1-anq)/(1-q) (n≥2)
当n=1时也成立.
当q=1时Sn=na1
所以Sn= na1(q=1) ;(a1-anq)/(1-q) (q≠1)。
3、数学归纳法
证明(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1·q0=a1,等式成立;
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N)时,等式成立,即ak=a1qk-1;
当n=k+1时,ak+1=ak·q=a1qk=a1·q(k+1)-1;
这就是说,当n=k+1时,等式也成立;
由(1)(2)可以判断,等式对一切n∈N都成立。
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