两向量垂直(向量垂直怎么定义的)

向量垂直公式的证明

一、从几何角度

设想有两个向量A和B，向量A的坐标为(x1,y1)，其长度L1由公式L1=√(x1²+y1²)。向量B的坐标为(x2,y2)，其长度L2由公式L2=√(x2²+y2²)。当这两向量垂直时，它们之间的几何关系呈现出一个特殊的性质。

我们知道，(x1,y1)到(x2,y2)的距离D按照公式D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]计算。在向量垂直的情况下，根据勾股定理，L1² + L2² 应当等于 D²。换句话说，(x1²+y1²) + (x2²+y2²) 应当等于 (x1 - x2)² + (y1 - y2)²。经过一系列的推导和化简，我们可以得到结论：x1x2 + y1y2 = 0。这表示向量A和向量B垂直时，它们的横坐标乘积与纵坐标乘积之和为零。

二、从三维角度扩展理解

当我们将这一理论扩展到三维空间时，如果两个向量(x1,y1,z1)和（x2,y2,z2）垂直，那么它们的另一个重要特性显现出来：x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0。这一公式是对二维空间向量垂直性质的直接扩展。换句话说，对于任意维度的两个向量L1和L2，它们垂直的充分必要条件是：L1×L2=0。这一结论为我们理解和应用向量垂直性质提供了有力的工具。

无论是在二维空间还是三维空间，向量的垂直性质都具有重要的理论价值和实践意义。这一性质的深入理解和应用，将有助于我们更好地理解和解决与向量相关的问题。